Cómo derivar la ecuación de Schrödinger

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Por Steven Holzner

En la física cuántica, la técnica de Schrödinger, que involucra a la mecánica de ondas, utiliza funciones de ondas, principalmente en la base de posición, para reducir las preguntas de la física cuántica a una ecuación diferencial.

Werner Heisenberg desarrolló la visión de la física cuántica orientada a la matriz, a veces llamada mecánica matricial. La representación matricial está bien para muchos problemas, pero a veces hay que ir más allá, como se va a ver.

Uno de los problemas centrales de la mecánica cuántica es calcular los niveles de energía de un sistema. El operador de energía se llama el Hamiltoniano, H, y encontrar los niveles de energía de un sistema se descompone para encontrar los valores propios del problema:

Aquí, E es un valor propio del operador H.

Aquí está la misma ecuación en términos de matriz:

Los niveles de energía permitidos del sistema físico son los valores propios E, que satisfacen esta ecuación. Estos se pueden encontrar resolviendo el polinomio característico, que se deriva de poner a cero el determinante de la matriz anterior, de la siguiente manera

Eso está bien si tienes una base discreta de vectores propios – si el número de estados de energía es finito. Pero, ¿y si el número de estados de energía es infinito? En ese caso, usted ya no puede usar una base discreta para sus operadores y sostenes y kets – usted usa una base continua.

La representación continua de la mecánica cuántica es una invención del físico Erwin Schrödinger. En la base continua, las sumas se convierten en integrales. Por ejemplo, toma la siguiente relación, donde I es la matriz de identidad:

Se convierte en lo siguiente:

Y cada cometa

se puede ampliar en una base de otros kets,

de esta manera:

Echa un vistazo a la posición del operador, R, en una base continua. Aplicando este operador se obtiene r, el vector de posición:

En esta ecuación, aplicar el operador de posición a un vector de estado devuelve las localizaciones, r, en las que se puede encontrar una partícula. Puede expandir cualquier ket en la base de posición de esta manera:

Y esto se convierte en

Aquí hay algo muy importante que entender:

es la función de onda para el vector de estado

– es la representación del cometa en la base de posición.

O en términos comunes, es sólo una función en la que la cantidad

representa la probabilidad de que la partícula se encuentre en la región d3r centrada en r.

La función de onda es la base de lo que se llama mecánica de onda, a diferencia de la mecánica matricial. Lo que es importante tener en cuenta es que cuando se habla de representar sistemas físicos en la mecánica ondulatoria, no se utilizan los sostenes y los kets sin base de la mecánica matricial; más bien, se suele utilizar la función ondulatoria, es decir, los sostenes y los kets en la base de la posición.

Por lo tanto, pasas de hablar de

Esta función de onda es sólo un ket en la base de posición. Así que en la mecánica de olas,

se convierte en lo siguiente:

Puede escribir esto como se indica a continuación:

Pero lo que es

Es igual a

El operador Hamiltoniano, H, es la energía total del sistema, cinético (p2/2m) más el potencial (V(r)) por lo que se obtiene la siguiente ecuación:

Pero el operador del momento es

Por lo tanto, la sustitución del operador de momento por p le da esto:

Usando el operador laplaciano, obtienes esta ecuación:

Puedes reescribir esta ecuación como sigue (llamada la ecuación de Schrödinger):

Así que en la visión de la mecánica de ondas de la física cuántica, ahora se trabaja con una ecuación diferencial en lugar de matrices múltiples de elementos. Todo esto vino de trabajar en la base de la posición,

Cuando se resuelve la ecuación de Schrödinger para

puede encontrar los estados de energía permitidos para un sistema físico, así como la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado de posición determinado.

Observe que, además de las funciones de onda en la base de posición, también puede dar una función de onda en la base de momento,

o en cualquier otro número de bases.

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