Cómo desacoplar diferentes partículas en ecuaciones linealmente independientes

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Por Steven Holzner

En la física cuántica, se pueden desacoplar sistemas de partículas que se pueden distinguir -es decir, sistemas de partículas identificablemente diferentes- en ecuaciones linealmente independientes. Para ilustrar esto, supongamos que usted tiene un sistema de muchos tipos diferentes de autos flotando en el espacio. Se pueden distinguir todos esos coches porque son todos diferentes – tienen masas diferentes, por un lado.

Ahora digamos que cada coche interactúa con su propio potencial, es decir, el potencial que cualquier coche ve no depende de ningún otro coche. Esto significa que el potencial para todos los coches es sólo la suma de los potenciales individuales que cada coche ve, que se parecen a esto, asumiendo que tienes N coches:

Ser capaz de cortar la energía potencial en una suma de términos independientes como este hace la vida mucho más fácil. Así es como se ve el Hamiltoniano:

Observa cuán más simple es esta ecuación que este Hamiltoniano para el átomo de hidrógeno:

Nota que puedes separar la ecuación anterior para el potencial de todos los coches en N ecuaciones diferentes:

Y la energía total es sólo la suma de las energías de los coches individuales:

Y la función de onda es sólo el producto de las funciones de onda individuales:

excepto que representa un producto de términos, no una suma, y ni se refiere a todos los números cuánticos de la partícula ith.

Como puede ver, cuando las partículas con las que está trabajando son distinguibles y están sujetas a potenciales independientes, el problema de manejar muchas de ellas se vuelve más simple. Puede dividir el sistema en N sistemas independientes de una sola partícula. La energía total es sólo la suma de las energías individuales de cada partícula. La ecuación de Schrödinger se divide en N ecuaciones diferentes. Y la función de onda termina siendo simplemente el producto de las funciones de onda de las N partículas diferentes.

Echa un vistazo a un ejemplo. Digamos que tienes cuatro partículas, cada una con una masa diferente, en un pozo cuadrado. Usted quiere encontrar la energía y la función de onda de este sistema. Aquí está el potencial del pozo cuadrado para cada una de las cuatro partículas no interactivas:

Así es como se ve la ecuación de Schrödinger:

Puedes separar la ecuación anterior en cuatro ecuaciones de una partícula:

Los niveles de energía son

Y porque la energía total es la suma de las energías individuales es

la energía en general es

Así que aquí está la energía del estado de la tierra – donde todas las partículas están en sus estados de tierra, n1 = n2 = n3 = n4 = 1:

Para un sistema unidimensional con una partícula en un pozo cuadrado, la función de onda es

La función de onda para el sistema de cuatro partículas es sólo el producto de las funciones de onda individuales, por lo que se ve así:

Por ejemplo, para el estado de la tierra, n1 = n2 = n3 = n4 = 1, usted tiene

Como puedes ver, los sistemas de partículas N independientes y distinguibles son a menudo susceptibles a la solución – todo lo que tienes que hacer es dividirlas en N ecuaciones independientes.

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