Cómo desglosar una diferencia o suma cúbica

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Después de haber comprobado si hay un Factor Común Más Grande (GCF) en un polinomio dado y descubierto que es un binomio que no es una diferencia de cuadrados, debe considerar que puede ser una diferencia o una suma de cubos.

Una diferencia de cubos se parece mucho a una diferencia de cuadrados, pero los factores son muy diferentes. Una diferencia de cubos es un binomio que es de la forma (algo)3 – (algo más)3. Para factorizar cualquier diferencia de cubos, se utiliza la fórmula a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

Una suma de cubos es un binomio de la forma: (algo)3 + (algo más)3. Cuando reconoces una suma de cubos a3 + b3, el factor es (a + b)(a2 – ab + b2).

Por ejemplo, para el factor 8×3 + 27, primero busque el GCF. No encuentras ninguna, así que ahora utiliza los siguientes pasos:

  1. Usted quiere considerar la posibilidad porque la expresión tiene dos términos, pero el signo más entre los dos términos rápidamente le dice que no es una diferencia de cuadrados.
  2. El signo más le dice que puede ser una suma de cubos, pero esa pista no es infalible. Es hora de un poco de ensayo y error: Intenta reescribir la expresión como la suma de cubos; si lo intentas (2x)3 + (3)3, has encontrado un ganador.
  3. Desglosar la suma o diferencia de cubos usando el método abreviado de factorización. Reemplazar a con 2x y b con 3. La fórmula es [(2x) + (3)] [(2x)2 – (2x)(3) + (3)2].
  4. Este ejemplo simplifica a (2x + 3)(4×2 – 6x + 9).
  5. Comprueba el polinomio factorizado para ver si vuelve a ser factorizado. Siempre mire las «sobras» para ver si vuelven a tener en cuenta los factores. A veces el término binomial puede volver a tomar en cuenta la diferencia de cuadrados. En este ejemplo, el término binomial 2x + 3 es un binomio de primer grado (el exponente de la variable es 1) sin un GCF, por lo que no se volverá a factorizar. Por lo tanto, (2x + 3)(4×2 – 6x + 9) es su respuesta final.

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