Cómo saber si una variable aleatoria no tiene una distribución binomial

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Por Deborah J. Rumsey

Para saber si una variable aleatoria de un muestreo estadístico no tiene una distribución binomial, primero hay que saber qué la hace binomial. Puede identificar una variable aleatoria como binomial si se cumplen las cuatro condiciones siguientes:

  1. Hay un número fijo de ensayos (n).
  2. Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.
  3. La probabilidad de éxito (llámelo p) es la misma para cada ensayo.
  4. Los ensayos son independientes, lo que significa que el resultado de un ensayo no influye en el de ningún otro.

Así que si no cumple todas estas condiciones, puedes decir que una variable aleatoria no es binomial.

La distribución no es binomial cuando el número de ensayos puede cambiar

Suponga que usted va a tirar una moneda justa hasta que consiga cuatro cabezas y contará cuántas tiradas se necesitan para llegar allí; en este caso X = número de tiradas. Esto ciertamente suena como una situación binomial: La Condición 2 se cumple porque tienes éxito (cara) y fracaso (colas) en cada tirada; la Condición 3 se cumple con la probabilidad de éxito (cara) siendo la misma (0.5) en cada tirada; y las tiradas son independientes, por lo que se cumple la Condición 4.

Sin embargo, note que X no está contando el número de cabezas (éxitos), sino el número de volteretas (pruebas) necesarias para obtener 4 cabezas. El número de éxitos (X) es fijo en lugar del número de pruebas (n). Dado que el número de ensayos no es fijo, la Condición 1 no se cumple, por lo que X no tiene una distribución binomial en este caso.

La distribución no es binomial cuando hay más de dos resultados

Algunas situaciones involucran más de dos posibles resultados, pero pueden parecer binomiales. Por ejemplo, suponga que tira un dado justo 10 veces y deja que X sea el resultado de cada tirada (1, 2, 3, ….6). Usted tiene una serie de n = 10 ensayos, son independientes, y la probabilidad de cada resultado es la misma para cada tirada. Sin embargo, en cada tirada estás registrando el resultado en un dado de seis caras, un número del 1 al 6. Esta no es una situación de éxito/fracaso, por lo que no se cumple la condición 2.

Sin embargo, dependiendo de lo que esté grabando, las situaciones que originalmente tengan más de dos resultados pueden entrar en la categoría de binomio. Por ejemplo, si tira un dado justo 10 veces y cada vez que anota si obtiene o no un 1, entonces la Condición 2 se cumple porque sus dos resultados de interés son obtener un 1 («éxito») y no un 1 («fracaso»). En este caso, p (la probabilidad de éxito) = 1/6, y 5/6 es la probabilidad de fracaso. Así que si X está contando el número de 1s que obtienes en 10 rollos, X es una variable binomial aleatoria.

La distribución no es binomial cuando los ensayos no son independientes

Tienes 10 personas – 6 mujeres y 4 hombres – y quieres formar un comité de 2 personas al azar. Que X sea el número de mujeres en el comité de 2. La posibilidad de seleccionar una mujer al azar en el primer intento es de 6/10.

Debido a que usted no puede seleccionar a esta misma mujer de nuevo, la posibilidad de seleccionar a otra mujer es ahora de 5/9. El valor de p ha cambiado y no se cumple la condición 3.

En este ejemplo, también se da el caso de que no se cumple la condición 4. Si la primera persona seleccionada es una mujer, entonces la posibilidad de seleccionar a otra mujer es 5/9. Pero si la primera persona seleccionada es un hombre, entonces la posibilidad de seleccionar una mujer en el segundo intento es de 6/9. El resultado del primer intento influye en el resultado del segundo intento, por lo tanto, las selecciones no son independientes.

Si la población es muy grande (por ejemplo, todos los adultos de EE.UU.), p todavía cambia cada vez que se elige a alguien, pero el cambio es insignificante, por lo que no hay que preocuparse por ello. Sigues diciendo que los ensayos son independientes con la misma probabilidad de éxito, p. (¡La vida es mucho más fácil así!)

La distribución no es binomial cuando la probabilidad de éxito (p) cambia

Tienes 5 urnas: A, B, C, D, E. Las urnas A y B tienen las bolas numeradas del 1 al 5; las urnas C, D, E tienen las bolas numeradas del 1 al 10. Hay cinco ensayos. En cada juicio, sacas una pelota de una urna. En la primera prueba se saca de la urna A, en la segunda se saca de la urna B, etc. Deja que X sea el número de veces que dibujas una bola numerada 1.

Esto no sería una distribución binomial porque la probabilidad cambia. En los dos primeros ensayos (usando las urnas A y B), la probabilidad de éxito es de 1/5. Pero en los siguientes tres ensayos (usando urnas C, D y E), la probabilidad de éxito es de 1/10.

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