Cómo simplificar las expresiones factoriales

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Por Mary Jane Sterling

Los conjuntos de elementos tienen operaciones especiales que se utilizan para combinarlos o modificarlos. Otra operación que se usa con los sets (pero que no es exclusiva de los sets) es factorial, denotada por el signo de exclamación.

La operación factorial se utiliza en las fórmulas utilizadas para contar el número de elementos en la unión, intersección o complemento de sets. Los factoriales aparecen en las fórmulas que se utilizan para contar los elementos en conjuntos que son realmente grandes.

La operación factorial, n!, se define como n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) – – – – 4 – 3 – 2 – 2 – 1. En otras palabras, multiplicas el número n, siendo operado, por cada entero positivo menor que n. Algunos valores de n! son: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, y así sucesivamente. Ya ves que se están haciendo grandes bastante rápido.

Otro valor factorial que necesita es 0! = 1. Usted puede pensar que eso es un error tipográfico. No. Por definición, 0 factorial es igual a 1. Es una de esas cosas extravagantes que los matemáticos declaran y hacen que todos usen para que las respuestas a los problemas salgan bien. La gente quería que las fórmulas para contar fueran consistentes para todos los números utilizados.

Simplificar los factoriales no es difícil, pero no es tan fácil como se podría pensar a primera vista. Para simplificar

no se puede reducir el 6 y el 3. Hay que tener en cuenta todos los factores que intervienen en cada operación factorial. Escriba los factoriales, y obtendrá

Ahora reduce los factores similares y simplifica:

Ejemplo de pregunta

  1. Simplifique la expresión factorial:816. Primero, escriba las expansiones de los factoriales. Pero espera! (Note que a pesar del signo de exclamación, el factorial no funciona en la palabra esperar.) En lugar de escribir todos los factores de 18, escribe 18 como 18 – 17 – 16 – 15. Los términos 15! se cancelarán, así que no se moleste en escribir todos esos términos idénticos tanto en numerador como en denominador: Ahora divida cualquier otro factor común y simplifique:

Preguntas de práctica

  1. Simplifique la expresión:
  2. Simplifique la expresión:
  3. Simplifique la expresión:
  4. Simplifique la expresión:

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de práctica:

  1. La respuesta es 1,680. Expande el numerador, y deja el denominador como 4! Luego reduzca y simplifique:
  2. La respuesta es 2,652. Expande el numerador, y deja el denominador como 50!. Luego reduzca y simplifique:
  3. La respuesta es 10. Expanda el numerador y el primer factor en el denominador. Reducir los factores comunes y simplificar:
  4. La respuesta es 15,504. Expanda el numerador y el primer factor en el denominador. Reducir los factores comunes y simplificar:

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