Cómo simplificar una expresión utilizando identidades recíprocas

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando se te pide que simplifiques una expresión que involucra cosecante, secante o cotangente, cambias la expresión a funciones que involucran seno, coseno o tangente, respectivamente. Cuando se cambian las funciones de esta manera, se utilizan identidades recíprocas. (Técnicamente, las identidades son funciones trigonométricas que también se consideran identidades porque ayudan a simplificar las expresiones.) Las identidades recíprocas se utilizan para poder cancelar funciones y simplificar el problema.

La siguiente lista presenta estas identidades recíprocas:

Cada proporción de trigonometría se puede escribir como una combinación de senos y/o cosenos, por lo que cambiar todas las funciones de una ecuación a senos y cosenos es la estrategia simplificadora que funciona con más frecuencia. Siempre trate de hacer este paso primero y luego vea si las cosas se cancelan y se simplifican. Además, tratar con los senos paranasales y los cosenos suele ser más fácil si se busca un denominador común para las fracciones. A partir de ahí, puedes usar lo que sabes sobre fracciones para simplificar todo lo que puedas.

Busca oportunidades para usar identidades recíprocas cuando el problema que te han dado contenga secante, cosecante o cotangente. Todas estas funciones se pueden escribir en términos de seno y coseno, y los senos y cosenos son siempre el mejor lugar para empezar. Por ejemplo, puede utilizar identidades recíprocas para simplificar esta expresión:

Siga estos pasos:

  1. Cambiar todas las funciones en versiones de las funciones seno y coseno, ya que este problema involucra un cosecante y una cotangente, se usan las identidades recíprocas para cambiar.
  2. Divida la fracción compleja reescribiendo la barra de división que está presente en el problema original como
  3. Invertir la última fracción y multiplicar.
  4. Los senos y cosenos se cancelan, y al final obtienes 1 como respuesta.

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