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- Cómo se diferencian los gráficos de derivados de los gráficos de funciones
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Por Mark Ryan
Cuando empiezas a mirar los gráficos de los derivados, puedes fácilmente caer en la cuenta de que son funciones normales, pero no lo son. Afortunadamente, usted puede aprender mucho sobre las funciones y sus derivados mirando sus gráficas lado a lado y comparando sus características importantes. Por ejemplo, tome la función, f (x) = 3×5 – 20×3.
f (x) = 3×5 – 20×3 y su primera derivada»/>f (x) = 3×5 – 20×3 y su primera
derivadaAhora vas a viajar a lo largo de f de izquierda a derecha, haciendo una pausa para anotar sus puntos de interés y también observando lo que está sucediendo con la gráfica de
en los mismos puntos. Pero primero, compruebe la siguiente advertencia (larga).
Esta NO es la función! Al mirar el gráfico de
en la figura, o en el gráfico de cualquier otro derivado, puede que tengas que abofetearte a ti mismo cada minuto más o menos para recordarte que «¡Este es el derivado que estoy viendo, no la función!»
Es fácil confundir los gráficos de los derivados con las funciones normales. Usted podría, por ejemplo, mirar un intervalo que está subiendo en la gráfica de un derivado y erróneamente concluir que la función original también debe estar subiendo en el mismo intervalo – un error comprensible.
Sabes que el primer derivado es lo mismo que la pendiente. Así que cuando veas el gráfico de la primera derivada subiendo, puedes pensar, «Oh, la primera derivada (la pendiente) está subiendo, y cuando la pendiente sube es como subir una colina, así que la función original debe estar subiendo». Esto suena razonable porque, en términos generales, se puede describir la parte delantera de una colina como una pendiente que sube, que aumenta. Pero matemáticamente hablando, la parte delantera de una colina tiene una pendiente positiva, no necesariamente una pendiente creciente. Por lo tanto, cuando una función aumenta, el gráfico de su derivada será positivo, pero ese gráfico de derivada podría estar subiendo o bajando.
Di que vas a subir una colina. A medida que te acercas a la cima de la colina, sigues subiendo, pero, en general, la pendiente (la inclinación) está bajando. Podría ser 3, luego 2, luego 1, y luego, en la cima de la colina, la pendiente es cero. Por lo tanto, la pendiente se hace más pequeña o disminuye, incluso cuando se sube o se aumenta la colina. En tal intervalo, el gráfico de la función aumenta, pero el gráfico de su derivada disminuye. ¿Entendiste eso?
Bien, volvamos a la F y su derivada en la figura. Comenzando por la izquierda y viajando hacia la derecha, f aumenta hasta el máximo local en (-2, 64). Está subiendo, por lo que su pendiente es positiva, pero f se está volviendo cada vez menos empinada, por lo que su pendiente está disminuyendo – la pendiente disminuye hasta que se convierte en cero en el pico. Esto corresponde al gráfico de
(la pendiente) que es positiva (porque está por encima del eje x) pero disminuye a medida que baja hasta el punto (2, 0). Vamos a resumir todo su viaje a lo largo de f y
con la siguiente lista de reglas.
- Un intervalo creciente en una función corresponde a un intervalo en el gráfico de su derivada que es positivo (o cero para un solo punto si la función tiene un punto de inflexión horizontal). En otras palabras, el intervalo de incremento de una función corresponde a una parte de la gráfica derivada que está por encima del eje x (o que toca el eje para un único punto en el caso de un punto de inflexión horizontal). Vea los intervalos A y F en la figura.
- Un máximo local en el gráfico de una función (como (-2, 64) corresponde a un cero (una intersección x) en un intervalo del gráfico de su derivada que cruza el eje x bajando (como en (2, 0)).
En un gráfico derivado, tienes un eje m. Cuando mires varios puntos en el gráfico derivado, no olvides que la coordenada y de un punto, como (2, 0), en un gráfico de un primer derivado te dice la pendiente de la función original, no su altura.
Piensa en el eje y de la primera gráfica derivada como el eje de pendiente o el eje m; podrías pensar en puntos generales de la primera gráfica derivada como si tuvieran coordenadas (x, m).
- Un intervalo decreciente en una función corresponde a un intervalo negativo en el gráfico de la derivada (o cero para un solo punto si la función tiene un punto de inflexión horizontal). El intervalo negativo en la gráfica derivada está por debajo del eje x (o en el caso de un punto de inflexión horizontal, la gráfica derivada toca el eje x en un solo punto). Véanse los intervalos B, C, D y E de la figura (pero considérenlos como una sola sección), donde f baja desde el máximo local a (-2, 64) hasta el mínimo local a (2, -64) y donde es negativo entre (-2, 0) y (2, 0, 0) excepto en el punto (0, 0) en el que corresponde al punto de inflexión horizontal a f.
- Un min local en el gráfico de una función corresponde a un cero (una intersección x) en un intervalo del gráfico de su derivada que cruza el eje x subiendo (como en (2, 0)).
Ahora vamos a hacer un segundo viaje a lo largo de f para considerar sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión. Primero, considere los intervalos A y B de la figura. El gráfico de f es cóncavo hacia abajo -lo que significa lo mismo que una pendiente decreciente- hasta que llega al punto de inflexión en aproximadamente (-1.4, 39.6).
Por lo tanto, el gráfico de
disminuye hasta que toca fondo a aproximadamente (-1.4, -60). Estas coordenadas le indican que el punto de inflexión a -1.4 on f tiene una pendiente de -60. Observe que el punto de inflexión en f en (-1.4, 39.6) es el punto más empinado en ese tramo de la función, pero tiene la pendiente más pequeña porque su pendiente es un negativo mayor que la pendiente en cualquier otro punto cercano.
Entre (-1.4, 39.6) y el siguiente punto de inflexión en (0, 0), f es cóncavo hacia arriba, lo que significa lo mismo que una pendiente creciente. Así que el gráfico de
aumenta desde aproximadamente -1.4 a donde alcanza un máximo local en (0, 0). Véase el intervalo C en la figura. Hagamos una pausa en este viaje para tener más reglas.
- Un intervalo cóncavo hacia abajo en el gráfico de una función corresponde a un intervalo decreciente en el gráfico de su derivada (intervalos A, B y D en la figura). Y un intervalo ascendente cóncavo en la función corresponde a un intervalo creciente en la derivada (intervalos C, E y F).
- Un punto de inflexión en una función (excepto un punto de inflexión vertical donde la derivada es indefinida) corresponde a un extremo local en el gráfico de su derivada. Un punto de inflexión de pendiente mínima (en su vecindario) corresponde a un min local en el gráfico de derivación; un punto de inflexión de pendiente máxima (en su vecindario) corresponde a un max local en el gráfico de derivación.
Reanudando su viaje, después de (0, 0), f es cóncavo hacia abajo hasta el punto de inflexión en aproximadamente (-1.4, 39.6) – esto corresponde a la sección decreciente de
de (0, 0) a su valor mínimo en (1.4, -60) (intervalo D en la figura). Finalmente, f es cóncava en el resto del camino, lo que corresponde a la sección creciente de
a partir de (1.4, -60) (intervalos E y F en la figura).
Bueno, eso te lleva al final del camino. Ir de un lado a otro entre los gráficos de una función y su derivada puede ser muy difícil al principio. Si tu cabeza empieza a dar vueltas, tómate un descanso y vuelve a hablar de esto más tarde.
Ahora, mira de nuevo el gráfico de la derivada,
en la figura y también en el gráfico de signos de
en la siguiente figura.
f(x) = 3×5 – 20xA
Ese gráfico de signo, porque es un segundo gráfico de signo derivado, tiene exactamente (bueno, casi exactamente) la misma relación con el gráfico de
como un primer gráfico de signos derivados se refiere al gráfico de una función regular. En otras palabras, intervalos negativos en el gráfico de signos de la figura
le muestra dónde se encuentra el gráfico de
disminuye; intervalos positivos en el gráfico de signos
mostrarte dónde
está aumentando.
Y puntos donde los signos cambian de positivo a negativo o viceversa
mostrarte dónde
tiene extremo local.
