Cómo escribir una matriz en el formulario Echelon de fila reducida

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Puedes encontrar la forma de una matriz en forma de escalón de fila reducida para encontrar las soluciones a un sistema de ecuaciones. Aunque este proceso es complicado, poner una matriz en una forma de escalón de filas reducido es beneficioso porque esta forma de matriz es única para cada matriz (y esa matriz única podría darle las soluciones a su sistema de ecuaciones).

La forma de escalón de fila reducida de una matriz es una matriz con un conjunto muy específico de requisitos. Estos requisitos se refieren a dónde se encuentran las filas de todos los 0 así como a cuál es el primer número de cualquier fila. Nota: El primer número en una fila de una matriz que no es 0 se llama el coeficiente principal. Para que se considere que una matriz está en forma de escalón de filas reducido, debe cumplir todos los requisitos siguientes:

  • Todas las filas que contienen todos los 0s están en la parte inferior de la matriz.
  • Todos los coeficientes principales son 1.
  • Cualquier elemento por encima o por debajo de un coeficiente de referencia es 0.
  • El coeficiente principal de cualquier fila siempre está a la izquierda del coeficiente principal de la fila que se encuentra debajo de él: una matriz (a) en forma de escalón de fila reducido y (b) no en forma de escalón de fila reducido.

La figura a muestra una matriz en forma de escalón de fila reducida, y la figura b no está en forma de escalón de fila reducida porque el 7 está directamente por encima del coeficiente principal de la última fila y el 2 está por encima del coeficiente principal de la fila dos.

La forma de escalón de fila reducida de una matriz es útil para resolver sistemas de ecuaciones que son 4 x 4 o más grandes, porque el método de eliminación implicaría una enorme cantidad de trabajo por su parte. El siguiente ejemplo muestra cómo obtener una matriz en un formulario de escalón de filas reducido utilizando operaciones de filas elementales. Puede utilizar cualquiera de estas operaciones para obtener una matriz en un formulario de nivel de línea reducido:

  • Multiplique cada elemento de una sola fila por una constante (distinta de cero).
  • Intercambiar dos filas.
  • Sumar dos filas juntas.

Utilizando estas operaciones elementales de filas, se puede reescribir cualquier matriz para que las soluciones al sistema que la matriz representa se hagan evidentes.

Use el formulario de escalón de filas reducidas sólo si un maestro de pre-cálculo o libro de texto le dice específicamente que lo haga. La forma de escalón de hilera reducida requiere mucho tiempo, energía y precisión. Puede tomar muchos pasos, lo que significa que usted puede mezclarse en toneladas de lugares. Si tiene la opción, debe optar por una táctica menos rigurosa (a menos, por supuesto, que esté tratando de presumir).

Quizás la matriz más famosa (y útil) en el pre-cálculo es la matriz de identidad, que tiene 1s a lo largo de la diagonal desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha y tiene 0s en todas partes. Es una matriz cuadrada en forma de escalón de fila reducida y representa el elemento de identidad de multiplicación en el mundo de las matrices, lo que significa que multiplicar una matriz por la identidad resulta en la misma matriz.

La matriz de identidad es una idea importante en la resolución de sistemas porque si se puede manipular la matriz de coeficiente para que se parezca a la matriz de identidad (utilizando operaciones de matriz legal), entonces la solución para el sistema está al otro lado del signo igual.

Reescribir esta matriz como un sistema produce los valores x = -1, y = 3, y z = -4.

Pero no es necesario llevar la matriz de coeficientes tan lejos sólo para obtener una solución. Puede escribirlo en forma de escalón de línea, como se indica a continuación:

Esta configuración es diferente de la forma de escalón de fila reducido porque la forma de escalón de fila permite que los números estén por encima de los coeficientes principales pero no por debajo.

Al reescribir este sistema se obtiene lo siguiente de las filas:

¿Cómo se llega a la solución – los valores de x, y, y, z – desde allí? La respuesta a esta pregunta es la resolución de problemas de espalda, también conocida como sustitución de espalda. Si una matriz se escribe en forma de escalón de fila, entonces la variable en la fila inferior se ha resuelto para (como z está aquí). Puedes conectar este valor a la ecuación anterior para resolver otra variable y continuar este proceso, moviéndote hacia arriba (o hacia atrás) hasta que hayas resuelto todas las variables. Como con un sistema de ecuaciones, te mueves de la ecuación más simple a la más complicada.

Así es como se ejecuta la resolución de problemas de espalda: Ahora que sabes z = -4, puedes sustituir ese valor en la segunda ecuación para obtener y:

Y ahora que sabes z e y, puedes retroceder más en la primera ecuación para obtener x:

x + 2(3) + 3(–4) = –7

x + 6 – 12 = –7

x – 6 = –7

x = –1

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