Cómo evaluar una integral inapropiada que es infinitamente horizontal

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Por Mark Zegarelli

Las integrales inadecuadas son útiles para resolver una variedad de problemas. Una integral impropia horizontalmente infinita contiene ya sea ∞ o -∞ (o ambos) como límite de integración.

La evaluación de una integral incorrecta es un proceso de tres pasos:

  1. Expresar la integral impropia como el límite de una integral propia.
  2. Evaluar la integral por cualquier método que funcione.
  3. Evaluar el límite.

Una integral impropia horizontal ocurre cuando una integral definida tiene un límite de integración que puede ser ∞ o -∞. Este tipo de integral impropia es fácil de detectar porque el infinito está ahí mismo en la integral misma. No puedes perdértelo.

Por ejemplo, suponga que desea evaluar la siguiente integral incorrecta:

Así es como se hace, paso a paso:

  1. Cuando el límite superior de la integración es ∞, usa esta ecuación: Así que esto es lo que harás:
  2. Evaluar la integral:
  3. Evaluar el límite:

Antes de seguir adelante, reflexione por un momento que el área bajo una curva infinitamente larga es realmente finita. Ah, la magia y el poder del cálculo!

Del mismo modo, suponga que desea evaluar lo siguiente:

Así es como se hace:

  1. Cuando el límite inferior de integración es -∞, usa esta ecuación: Así que esto es lo que escribes:
  2. Evaluar la integral:
  3. Evaluar el límite – en este caso, a medida que se acerca c – ∞, el primer término no se ve afectado y el segundo se acerca a 0:

De nuevo, el cálculo te dice que, en este caso, el área bajo una curva infinitamente larga es finita.

Por supuesto, a veces el área bajo una curva infinitamente larga es infinita. En estos casos, la integral incorrecta no puede ser evaluada porque el límite no existe (DNE). He aquí un ejemplo rápido que ilustra esta situación:

Puede que no sea obvio que esta integral incorrecta represente un área infinitamente grande. Después de todo, el valor de la función se acerca a 0 a medida que x aumenta. Pero fíjese cómo se desarrolla esta evaluación:

  1. Expresar la integral impropia como el límite de una integral propia:
  2. Evaluar la integral:

En este punto, puedes ver que el límite explota hasta el infinito, así que no existe. Por lo tanto, la integral impropia no puede ser evaluada, porque el área que representa es infinita.

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