INDICE
- Educación
- Matemáticas
- Cálculo
- Cómo evaluar una integral incorrecta que es verticalmente infinita
Libro Relacionado
Calculus II para tontos, 2ª Edición
Por Mark Zegarelli
Las integrales inadecuadas son útiles para resolver una variedad de problemas. Una integral impropia verticalmente infinita contiene al menos una asíntota vertical. Las integrales impropias verticalmente infinitas son más difíciles de reconocer que las que son horizontalmente infinitas. Una integral de este tipo contiene al menos una asíntota vertical en el área que está midiendo. (Una asíntota vertical es un valor de x donde f(x) es igual a uno o -.) La asíntota puede ser un límite de integración o puede caer en algún lugar entre los dos límites de la integración.
No trate de pasar por alto y evaluar las integrales impropias como integrales apropiadas. En la mayoría de los casos, obtendrá la respuesta equivocada!
Hay dos casos en los que necesitará manejar integrales impropias verticalmente infinitas.
Manejo de los límites asintóticos de la integración
Suponga que desea evaluar la siguiente integral:
A primera vista, usted puede estar tentado a evaluar esto como una integral adecuada. Pero esta función tiene una asíntota en x = 0. La presencia de una asíntota en uno de los límites de la integración obliga a evaluarla como una integral incorrecta.
- Expresar la integral como el límite de una integral propia: Nótese que en este límite, c se acerca a 0 desde la derecha -es decir, desde el lado positivo- porque esta es la dirección de acercamiento desde dentro de los límites de la integración. (Eso es lo que significa el pequeño signo más en el límite.)
- Evaluar la integral: Esta integral es fácilmente evaluada como usando la Regla de Potencia:
- Evaluar el límite: En este punto, la sustitución directa le proporciona la respuesta final:= 2
Uniendo integrales discontinuos
Si una función es continua en un intervalo, también es integrable en ese intervalo. Algunas integrales que son verticalmente infinitas tienen asíntotas no en los bordes sino en algún lugar del medio. El resultado es un integrando discontinuo, es decir, una función con una discontinuidad en el intervalo que se intenta integrar.
Las integrales discontinuas son las integrales impropias más difíciles de detectar – realmente necesitas saber cómo se comporta el gráfico de la función que estás integrando.
Para evaluar una integral impropia de este tipo, sepárela en cada asíntota en dos o más integrales. Luego evalúe cada una de las integrales resultantes como una integral incorrecta.
Por ejemplo, suponga que desea evaluar la siguiente integral:
Porque la gráfica de sec x contiene una asíntota en
el gráfico de sec2x tiene una asíntota en el mismo lugar. Por ejemplo, un gráfico de la integral incorrecta
se muestra en esta figura.
Para evaluar esta integral, divídala en dos integrales al valor de x donde se encuentra la asíntota:
Ahora evalúa la suma de las dos integrales incorrectas resultantes.
Usted puede ahorrarse mucho trabajo notando cuando dos regiones son simétricas. En este caso, la asíntota de
divide el área sombreada en dos regiones simétricas. Así que puedes encontrar una integral y luego duplicarla para obtener tu respuesta:
Ahora evalúa esta integral:
- Expresar la integral como el límite de una integral adecuada: En este caso, la asíntota vertical se encuentra en el límite superior de la integración, por lo que c se aproxima desde la izquierda, es decir, desde el interior del intervalo en el que se está midiendo el área.
- Evaluar la integral:
- Evaluar el límite: Tenga en cuenta que no está definido, porque la función tan x tiene una asíntota, por lo que el límite no existe (DNE). Por lo tanto, la integral que estás tratando de evaluar tampoco existe porque el área que representa es infinita.
