Cómo probar que los ángulos son complementarios o suplementarios

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Por Mark Ryan

Los ángulos complementarios son dos ángulos que suman hasta 90°, o un ángulo recto; dos ángulos suplementarios suman hasta 180°, o un ángulo recto. Estos ángulos no son las cosas más emocionantes en geometría, pero tienes que ser capaz de verlos en un diagrama y saber cómo usar los teoremas relacionados en las pruebas.

Se utilizan los teoremas listados aquí para ángulos complementarios:

  • Complementos del mismo ángulo son congruentes. Si dos ángulos son complementarios a un tercer ángulo, entonces son congruentes entre sí. (Tenga en cuenta que este teorema implica tres ángulos totales.)
  • Los complementos de los ángulos congruentes son congruentes. Si dos ángulos son complementarios a otros dos ángulos congruentes, entonces son congruentes. (Este teorema implica cuatro ángulos totales.)

Los siguientes ejemplos muestran lo increíblemente simple que es la lógica de estos dos teoremas.

Complementos del mismo ángulo

Dada: Esquema como se muestra

Complementos de ángulos congruentes

Dada: Esquema como se muestra

Nota:La lógica que se muestra en estas dos figuras funciona igual cuando no se conoce el tamaño de los ángulos dados.

Y aquí están los dos teoremas sobre ángulos suplementarios que funcionan exactamente de la misma manera que los dos teoremas de ángulos complementarios:

  • *Los suplementos del mismo ángulo son congruentes. Si dos ángulos son cada uno suplementario a un tercer ángulo, entonces son congruentes entre sí. (Esta es la versión de tres ángulos.)
  • *Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes. Si dos ángulos son suplementarios a otros dos ángulos congruentes, entonces son congruentes. (Esta es la versión de cuatro ángulos.)

Los cuatro teoremas anteriores sobre ángulos complementarios y suplementarios vienen en pares: Uno de los teoremas implica tres segmentos o ángulos, y el otro, que se basa en la misma idea, implica cuatro segmentos o ángulos. Al hacer una prueba, anote si la parte relevante del diagrama de prueba contiene tres o cuatro segmentos o ángulos para determinar si se debe usar la versión de tres o cuatro objetos del teorema apropiado.

Echa un vistazo a uno de los teoremas de ángulo complementario y a uno de los teoremas de ángulo complementario en acción:

Antes de tratar de escribir una prueba formal de dos columnas, a menudo es una buena idea pensar en un argumento de»asiento de los pantalones» sobre por qué la declaración de prueba tiene que ser cierta. Piense en este argumento como un plan de juego. Los planes de juego son especialmente útiles para pruebas más largas, porque sin un plan, puede perderse en medio de la prueba.

Cuando se trabaja con un plan de juego, puede resultar útil crear tamaños arbitrarios para segmentos y ángulos en la prueba. Puede hacer esto para los segmentos y ángulos en los givens y, a veces, para los segmentos y ángulos no mencionados. Sin embargo, no debe compensar los tamaños de las cosas que está tratando de mostrar que son congruentes.

Plan de juego: En esta prueba, por ejemplo, usted podría decirse a sí mismo: «Veamos. . . . Debido a los segmentos perpendiculares dados, usted tiene dos ángulos rectos.

Eso es todo.

Aquí está la prueba formal (cada declaración es seguida por la razón).

Declaración 1:

Motivo de la afirmación 1: Dado. (¿Por qué te dirían esto? Mira la razón 2.)

Estado financiero 2:

Motivo del enunciado 2: Si los segmentos son perpendiculares, forman ángulos rectos (definición de perpendicular).

Estado financiero 3:

Motivo de la afirmación 3: Si dos ángulos forman un triángulo recto, entonces son complementarios (definición de ángulos complementarios).

Estado financiero 4:

Motivo de la declaración 4: Dado.

Estado financiero 5:

Motivo de la afirmación 5: Si dos ángulos son complementarios de otros dos ángulos congruentes, entonces son congruentes.

Estado financiero 6:

Razón del enunciado 6. Esto se deduce del diagrama.

Estado financiero 7:

Motivo de la afirmación 7: Si dos ángulos forman un ángulo recto, entonces son suplementarios (definición de ángulos suplementarios).

Estado financiero 8:

Motivo de la afirmación 8: Si dos ángulos son complementarios de otros dos ángulos congruentes, entonces son congruentes.

Nota:Dependiendo de dónde caiga tu profesor de geometría en la escala de suelto a riguroso, él o ella podría permitirte omitir un paso como el paso 6 en esta prueba porque es tan simple y obvio. Muchos maestros comienzan el primer semestre insistiendo en que se incluya cada pequeño paso, pero luego, a medida que avanza el semestre, se relajan un poco y le permiten saltarse algunos de los pasos más sencillos.

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