Cómo probar si una serie converge o difiere

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Por Mark Ryan

Supongamos que está tratando de averiguar si una serie converge o diverge, pero no encaja en ninguna de las pruebas que conoce. No te preocupes. Usted encuentra una serie de referencia que usted sabe que converge o diverge y luego compara su nueva serie con la serie de referencia conocida.

Si tiene una serie que es más pequeña que una serie de referencia convergente, entonces su serie también debe converger. Si el punto de referencia converge, su serie converge; y si el punto de referencia diverge, su serie diverge. Y si su serie es más grande que una serie de referencia divergente, entonces su serie también debe ser divergente. Aquí está la jerga.

Prueba de comparación directa:

¿Qué tal un ejemplo? Determine si

converge o se desvía. Un pedazo de pastel. Esta serie se parece a

que es una serie geométrica con r igual a

(Tenga en cuenta que puede volver a escribirlo en el formulario de serie geométrica estándar como

esta serie converge. Y porque

convergen. Aquí hay otra: ¿Él o ella

¿convergencia o divergencia? Esta serie se parece a

la serie p armónica que se sabe que diverge. Porque

también deben divergir. Por cierto, si te estás preguntando por qué este ejemplo sólo considera los términos donde

aquí está el por qué:

Siéntase libre de ignorar los términos iniciales. Para cualquiera de las pruebas de convergencia/divergencia, puede prescindir de cualquier número de términos al principio de una serie. Y si estás comparando dos series, puedes ignorar cualquier número de términos desde el principio de una o ambas series – y puedes ignorar un número diferente de términos en cada una de las dos series.

Este desprecio total de los términos iniciales inocentes se permite porque los primeros, digamos, 10 o 1.000 o 1.000.000 de términos de una serie siempre suman un número finito y por lo tanto nunca tienen ningún efecto sobre si la serie converge o se desvía. Nótese, sin embargo, que no tener en cuenta una serie de términos afectaría al total al que converge una serie convergente.

(¿Se está preguntando por qué esta falta de atención a los términos iniciales no viola el requisito de la prueba de comparación directa de que

Todo está en orden porque se puede eliminar cualquier número de términos al principio de cada serie y dejar que el contador, n, empiece en 1 en cualquier parte de cada serie. Por lo tanto, los términos «primeros» a1 y b1 pueden ser localizados en cualquier lugar a lo largo de cada serie. ¿Tiene sentido?)

¡Adelante! La prueba de comparación directa no le dice nada si la serie que está investigando es mayor que una serie convergente conocida o menor que una serie divergente conocida.

Por ejemplo, supongamos que desea determinar si

converge. Esta serie se parece a

que es una serie p con p igual a

La prueba de la serie p dice que esta serie difiere, pero eso no le ayuda porque su serie es menor que este punto de referencia divergente conocido.

En su lugar, debe comparar su serie con la serie armónica divergente,

(se necesita un poco de trabajo para demostrarlo; inténtalo). Debido a que su serie es mayor que la serie armónica divergente, su serie también debe divergir.

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