Cómo Sumar Vectores Juntos

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Física I Cuaderno de trabajo para tontos, 2ª edición

Por Steven Holzner

Frecuentemente se te pide que añadas vectores cuando resuelves problemas de física. Para sumar dos vectores, los colocas de cabeza a cola y luego encuentras la longitud y magnitud del resultado. El orden en que se suman los dos vectores no importa.

Por ejemplo, supongamos que te diriges a la gran convención de física y te dicen que vas 20 millas hacia el norte y luego 20 millas hacia el este para llegar allí. ¿En qué ángulo se encuentra el centro de convenciones de su ubicación actual y a qué distancia se encuentra?

Puedes escribir estos dos vectores así (donde este está a lo largo del eje x positivo):

En este caso, necesitas añadir estos dos vectores, y puedes hacerlo simplemente añadiendo sus componentes x e y por separado:

Haz las cuentas, y tu vector resultante es (20, 20). Acabas de completar una suma de vectores. Pero la pregunta pide el vector en términos de magnitud/ángulo, no en términos de coordenadas. Entonces, ¿cuál es la magnitud del vector que te lleva a la convención de física? Puede ver la situación en la siguiente figura, donde tiene xe y y y quiere encontrar v.

Encontrar v no es tan difícil porque puedes usar el teorema de Pitágoras:

Conecte los números para obtener

Así que la convención está a 28.3 millas de distancia. ¿Qué hay del ángulo theta? Ya sabes

Y eso es todo – ahora sabes que la convención está a 28.3 millas de distancia en un ángulo de 45 grados.

Ejemplo de pregunta

1. Suma los dos vectores en la siguiente figura. Uno tiene una magnitud de 5.0 y un ángulo de 45 grados, y el otro tiene una magnitud de 7.0 y un ángulo de 35 grados, la respuesta correcta es magnitud de 12.0, ángulo de 39 grados. Para el primer vector, aplicar la ecuación vx = v cos theta para encontrar la coordenada x. Eso es 5.0 cos 45 grados = 3.5.Aplica la ecuación vy = v sin theta para encontrar la coordenada y del primer vector. Eso es 5.0 sin 45 grados, o 3.5. Así que el primer vector es (3.5, 3.5) en forma de coordenadas, para el segundo vector, aplica la ecuación vx = v cos theta para encontrar la coordenada x. Eso es 7.0 cos 35 grados = 5.7.Aplica la ecuación vy = v sin theta para encontrar la coordenada y del segundo vector. Eso es 7.0 sin 35 grados = 4.0. Así que el segundo vector es (5.7, 4.0) en forma de coordenadas: (3.5, 3.5) + (5.7, 4.0) = (9.2, 7.5) Convertir (9.2, 7.5) en forma de magnitud/ángulo. Aplica la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo, que es tan-1(7.5/9.2) = tan-1(0.82) = 39 grados.

Preguntas de práctica

1. Suma un vector cuya magnitud es 13.0 y el ángulo es 27 grados a uno cuya magnitud es 11.0 y el ángulo es 45 grados.
2. Suma un vector cuya magnitud es 16.0 y el ángulo es 56 grados a uno cuya magnitud es 10.0 y el ángulo es 25 grados.
3. Suma dos vectores: El vector uno tiene una magnitud de 22,0 y un ángulo de 19 grados, y el vector dos tiene una magnitud de 19,0 y un ángulo de 48 grados.
4. Suma un vector cuya magnitud es 10.0 y el ángulo es 257 grados a uno cuya magnitud es 11.0 y el ángulo es 105 grados.

A continuación se presentan las respuestas a las preguntas de práctica:

1. Magnitud 23.7, ángulo 35 gradosPara el primer vector, usar la ecuación vx = v cos thetato encontrar la coordenada x: 13.0 x cos 27 grados = 11.6.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del primer vector: 13.0 x sin 27 grados, o 5.90. Así que el primer vector es (11.6, 5.90) en forma de coordenadas, para el segundo vector, usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x: 11.0 x cos 45 grados = 7.78.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del segundo vector: 11.0 x sin 45 grados = 7.78. Así que el segundo vector es (7.78, 7.78) en forma de coordenadas: (11.6, 5.90) + (7.78, 7.78) = (19.4, 13.7) Convertir (19.4, 13.7) en forma de magnitud/ángulo. Usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(13.7/19.4) = tan-1(0.71) = 35 grados.
2. Magnitud 25.1, ángulo 44 gradosPara el primer vector, utilice la ecuación vx = v cos thetato encontrar la coordenada x: 16.0 x cos 56 grados = 8.95.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del primer vector: 16.0 x sin 56 grados, o 13.3. Así que el primer vector es (8.95, 13.3) en forma de coordenadas, para el segundo vector, usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x: 10.0 x cos 25 grados = 9.06.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del segundo vector: 10.0 x sin 25 grados = 4.23. Así que el segundo vector es (9.06, 4.23) en forma de coordenadas: (8.95, 13.3) + (9.06, 4.23) = (18.0, 17.5) Convierte el vector (18.0, 17.5) en forma de magnitud/ángulo. Usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(17.5/18.0) = tan-1(0.97) = 44 grados.
3. Magnitud 39.7, ángulo 32 gradosPara el primer vector, usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x: 22.0 x cos 19 grados = 20.8.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del primer vector: 22.0 x sin 19 grados, o 7.16. Así que el primer vector es (20.8, 7.16) en forma de coordenadas, para el segundo vector, usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x: 19.0 x cos 48 grados = 12.7.Usar la ecuación vy = v sin thetato encontrar la coordenada y del segundo vector: 19.0 x sin 48 grados = 14.1. Así que el segundo vector es (12.7, 14.1) en forma de coordenadas, sumando los dos vectores en forma de coordenadas: (20.8, 7.16) + (12.7, 14.1) = (33.5, 21.3) Convierte el vector (33.5, 21.3) en forma de magnitud/ángulo. Usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(21.3/33.5) = tan-1(0.64) = 32 grados.
4. Magnitud 5.2, ángulo 170 grados1. Para el primer vector, utilice la ecuación vx = v cos thetato encontrar la coordenada x: 10.0 x cos 257 grados = -2.25.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del primer vector: 10.0 x sin 257 grados, o -9.74. Así que el primer vector es (-2.25, -9.74) en forma de coordenadas, para el segundo vector, usa la ecuación vx = v cos thetato encuentra la coordenada x: 11.0 x cos 105 grados = -2.85.Usa la ecuación vy = v sin thetato encuentra la coordenada y del segundo vector: 11.0 x sin 105 grados = 10.6. Así que el segundo vector es (-2.85, 10.6) en forma de coordenadas, sumando los dos vectores en forma de coordenadas: (-2.25, -9.74) + (-2.85, 10.6) = (-5.10, 0.86) Convierte el vector (-5.10, 0.86) en forma de magnitud/ángulo. Usa la ecuación theta = tan-1(y/x) para encontrar el ángulo: tan-1(0.86/-5.10) = tan-1(-0.17) = 170 grados. Debido a que x es negativo e y es positivo, este vector debe estar en el segundo cuadrante.