Cómo diferenciar implícitamente – Explicado

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Por Mark Ryan

A veces se te pide que diferencies una ecuación que no está resuelta para y, como y5 +3×2 = sin x – 4y3. Esta ecuación define implícitamente a y como una función de x, y no puedes escribirla como una función explícita porque no puede ser resuelta para y. Para tal problema, necesitas una diferenciación implícita. Al diferenciar implícitamente, todas las reglas derivadas funcionan de la misma manera, con una excepción: Cuando se diferencia un término con una y, se utiliza la regla de la cadena con un pequeño giro.

Por ejemplo, puedes usar la regla de la cadena para diferenciar algo como el pecado (x3) de la siguiente manera: comienza con la función exterior, pecar, y diferenciar eso, IGNORANDO lo que está dentro – en este caso, x3. Para asegurarse de que ignora el interior, reemplace temporalmente la función interior con la palabra»cosas». En este ejemplo, el derivado del seno es coseno, así que el derivado del pecado (material) es

Terminas el problema encontrando el derivado de la cosa, x3, que es 3×2, y luego haciendo las sustituciones para darte

Con la diferenciación implícita, una y funciona como la palabra»cosa». Por lo tanto, debido a que

El giro es que mientras que la palabra cosa está temporalmente tomando el lugar de alguna función conocida de x (x3 en este ejemplo), y es alguna función desconocida de x (no sabes lo que la y iguala en términos de x). Y porque no sabes lo que es igual, lo que es igual a lo que es igual, lo que es igual a lo que es igual a lo que es igual.

Pero el concepto es exactamente el mismo, y te tratas igual que a los demás. Simplemente no puedes hacer el cambio de nuevo a xs al final del problema como puedes hacerlo con un problema regular de reglas de cadena.

Aquí hay un ejemplo. Diferenciar y5 +3×2 = sin x – 4y3:

  1. Diferenciar cada término en ambos lados de la ecuación.y5 +3×2 = sin x – 4y3Para el primer y cuarto término, se utiliza la regla de poder y, dado que estos términos contienen ys, también se utiliza la regla de la cadena. Para el segundo período de validez, se utiliza la regla de potencia normal. Y para el tercer período, se utiliza la regla del seno regular.
  2. Recopila todos los términos que contengan una en el lado izquierdo de la ecuación y todos los demás términos en el lado derecho.
  3. Factor de exclusión
  4. Divide para la respuesta final.

Note que esta derivada se expresa en términos de x e y en lugar de sólo x. Por lo tanto, si desea evaluar la derivada para obtener la pendiente en un punto en particular, necesita tener valores tanto para x como para y para conectarse a la derivada.

Tenga en cuenta también que en muchos libros de texto, el símbolo

se utiliza en lugar de

en cada paso de soluciones como la que se muestra aquí. Usted puede encontrar

más fácil y menos engorroso de trabajar. Pero

tiene la ventaja de recordarte que estás encontrando la derivada de y con respecto a x. De cualquier manera está bien. Elige lo que quieras.

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