Cómo simplificar y dividir la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno

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Por Steven Holzner

En física cuántica, puede ser necesario simplificar y dividir la ecuación de Schrödinger para el hidrógeno. Esta es la ecuación mecánica cuántica habitual de Schrödinger para el átomo de hidrógeno:

El problema es que estás tomando en cuenta la distancia que hay entre el protón y el centro de masa del átomo, así que las matemáticas son complicadas. Si se asumiera que el protón es estacionario y que rp= 0, esta ecuación se descompondría a la siguiente, la cual es mucho más fácil de resolver:

Desafortunadamente, esa ecuación no es exacta porque ignora el movimiento del protón, por lo que se ve la versión más completa de la ecuación en los textos de mecánica cuántica.

Para simplificar la ecuación habitual de Schrödinger, se cambia a las coordenadas del centro de masa. El centro de masa del sistema protón/electrón se encuentra en esta ubicación:

Y el vector entre el electrón y el protón es

r = re – rp

El uso de los vectores R y r en lugar de re y rp hace que la ecuación de Schrödinger sea más fácil de resolver. El Laplaciano para R es

Y el Laplaciano para él es

¿Cómo puedes relacionarte

a la ecuación usual de

Después de que el álgebra se asienta, obtienes

donde M = me+ mp es la masa total y

se llama la masa reducida. Cuando se juntan las ecuaciones para el centro de masa, el vector entre el protón y el electrón, la masa total y m, entonces la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se convierte en la siguiente:

Entonces, dados los vectores, R y r, el potencial está dado por,

La ecuación de Schrödinger se convierte entonces en

Esto parece más fácil – la principal mejora es que ahora tienes |r| en el denominador del término de energía potencial en lugar de |re – rp|.

Debido a que la ecuación contiene términos que involucran R o r pero no ambos, la forma de esta ecuación indica que es una ecuación diferencial separable. Y eso significa que usted puede buscar una solución de la siguiente forma:

Sustituyendo la ecuación anterior por la anterior, se obtiene lo siguiente:

Y dividiendo esta ecuación entre

te da

Vaya, vaya, vaya. Esta ecuación tiene términos que dependen de

pero no ambas cosas. Esto significa que puedes separar esta ecuación en dos ecuaciones, así (donde la energía total, E, es igual a ER + Er):

Multiplicando

te da

Y multiplicando

te da

Ahora tienes dos ecuaciones de Schrödinger, que puedes resolver independientemente.

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